ERATÓSTENES. MEDIDA DE LA CIRCUNFERENCIA DE LA TIERRA

ERATÓSTENES. MEDIDA DE LA CIRCUNFERENCIA DE LA TIERRA

En esta entrada de nuestro blog, os vamos a explicar cómo podríais saber la medida de la circunferencia de la Tierra tal y como lo hizo Eratóstenes hace unos 2000 años.
Para ello hemos necesitado dos gnomones, dos hojas de papel muy grandes, dos rotuladores y dos cronómetros o relojes.

Para empezar, os explicaremos lo que hizo Eratóstenes y después os detallaremos los que hicimos nosotros.

Eratóstenes, un matemático, astrónomo y geógrafo de origen griego, logró medir la circunferencia de la Tierra con muy pocos medios. Lo que hizo fue lo siguiente:
Él sabía que el día del solsticio de verano los objetos verticales no proyectaban sombra pero que en el fondo de los pozos había luz. Eratóstenes, que sabía que Alejandría y Siena tenía aproximadamente la misma longitud y, suponiendo que los rayos del Sol inciden paralelos, midió la sobra que proyectaban ciertos objetos en Alejandría y en Siena el mediodía del solsticio de verano.
Después, pidió a algunos comerciantes que viajaban desde Siena hasta Alejandría que calculasen la distancia entre ambas ciudades. El dato que llegó a Eratóstenes era de 500 estadios.
Finalmente, mediante unos cálculos algo complejos Eratóstenes logró calcular la circunferencia de la Tierra con muy poco margen de error.


Nosotros, en nuestro patio; hemos imitado lo que hizo Eratóstenes mediante un sistema más sencillo. En otro colegio de nuestra misma latitud, han tomado las mismas medidas que nosotros el mismo día.
Nuestro objetivo era calcular el mínimo de sombra. Para ello, hemos usado un gnomon, una hoja de papel muy grande, un rotulador y un reloj.

Lo primero que hicimos fue extender una hoja de papel sobre el suelo poniendo un gnomon (recogedor) ir tomando medidas cada 5 minutos de la sobra que proyectaba el gnomon. Cuando obtuvimos todos los datos, mediante un cálculo gráfico. Para ellos necesitaremos un compás y un flexómetro.
Haciendo centro en el gnomon, cortamos la trayectoria de la sombra en dos puntos P1 y P2. Volvemos a cortar la circunferencia en dos puntos Q1 y Q2. Ahora realizamos las mediatrices de ambos segmentos. La mediatriz que obtenemos es la dirección Norte-Sur y la mínima se produce en el momento en el que la trayectoria de la sombra corta la recta con dirección Norte-.Sur. En realidad, este no es el mínimo de sombra, ya que hay que restarle el radio del gnomon o del recogedor en nuestro caso. Estos datos los publicaremos en un foro para que otros alumnos puedan usar nuestras medidas y nosotros usar las suyas para terminar de realizar el cálculo.

CÁLCULO RADIO TIERRA
Ahora calcularemos el radio de la Tierra, para ello necesitamos tomar las medidas que antes describíamos pero desde dos puntos del globo terráqueo. Para realizar el experimento de la forma más precisa posible, los datos debería haber sido tomados en dos puntos con la misma longitud pero esto no ha sido posible ya que no disponíamos de datos en esta longitud válidos. Al decir válidos nos referimos a que sí poseíamos datos de una escuela en nuestra misma longitud como el IES DR PESET ALEIXANDRE PATERNA-VALENCIA-ESPAÑA pero estos no son válidos ya que la distancia entre nosotros no es mayor a 400 kilómetros y por tanto los datos no son válidos.

Así, hemos cogido la información necesaria del Centro Educacional Nosso Mundo, cuyos datos anteriormente calculados, organizaremos y utilizaremos luego son los siguientes:

COORDENADAS: 22º57'0'' S;43º30'0'' O
ALTURA DE GNOMON EL 25/09/15: 90cm
LONGITUD SOMBRA EL 25/09/15: 35cm
DISTANCIA AL ECUADOR(Coordenadas Ecuador->0º):

Ahora tomaremos y calcularemos estos mismos datos para nuestro colegio:

COORDENADAS: 40º30'36''N ; 3º36'40º O

ALTURA GNOMON: 78,25 cm

LONGITUD DE LA SOMBRA: 67,3cm

Una vez que tenemos todos los datos necesarios para la resolución del problema, procedemos a ello.

Primero debemos calcular la distancia entre ambos si estuviesen en línea recta, es decir sobre el mismo meridiano, para ello debemos hacer la siguiente operación:

Distacia(base Ecuador)+Distancia(Nosso Mundo-Ecuador)

Distacia(Base-Nosso Mundo)=4452,08 KM + 2448,64 KM = 6900,72 KM

Sabiendo la distancia entre los dos puntos, ahora calcularemos el ángulo con el que incidía el sol en ambos puntos, para ello debemos aplicar los siguientes cálculos. Para dejar el problema más claro tomaremos el siguiente esquema que podemos encontrar en el blog de nuestros profesores.

Para calcular α en ambos casos debemos realizar la siguiente división: cat.op/cat.ady

Por ello: α1=35cm/90cm = 0,38

α2=67,3cm/78,25 = 0,86

Posteriormente, calcularemos a cuantos grados corresponden estos valores mediante una fórmula que aparece en nuestras calculadoras como tan^-1

En α1 0,38 correspondería a: arctg0,38=20,8º

En α2 0,86 correspondería a: arctg 0,86 = 40,7º

Una vez sabiendo estos datos y observando el gráfico podemos establecer la siguiente ecuación:

α1+delta(delta es el ángulo correspondiente a la distancia entre dos puntos)+180º-α2=180º

α1+delta-α2=0

delta=α2-α1

Por lo que en nuestro problema delta corresponde a 40,7º+20,8º=61,5º

Por último, con una simple regla de tres sabremos el perímetro de la Tierra. 

61,5º----6900,72 KM

360º------x KM

Por ello: x=6900,72 KM * 360º / 61,5º 

P=40394,46 KM 

Y para finalizar, calcularemos el radio de esta

P=2pi*r=40394,46 KM 

R=40394,46 KM /2pi

R=6432,24 KM

Por último, calcularemos el error que hemos cometido.

Buscando en google vemos que el radio de la tierra es 6371KM

Error absoluto: 6371KM - 6432,24KM = 61,24 KM

Error relativo: 61,24 KM / 6371 KM = 0,96%